Критерий Келли — это формула для определения того, какую часть вашего банкролла следует поставить на событие, учитывая предлагаемые коэффициенты и вашу собственную оценку истинной вероятности исхода. Она была разработана Джоном Келли в Bell Labs в 1956 году для совершенно другой задачи — борьбы с шумами в телефонных линиях, — но игроки и инвесторы взяли её на вооружение, так как она отвечает на вопрос, который обходят стороной другие стратегии ставок: не «стоит ли мне делать эту ставку?», а «сколько именно я должен поставить, если я прав в своем преимуществе?»
Логика заключается в том, что ставка фиксированной суммой каждый раз игнорирует размер вашего реального преимущества, в то время как ставка фиксированным процентом от банкролла независимо от преимущества рискует привести к перевесу на маргинальных значениях и недовесу на сильных. Келли напрямую связывает размер ставки с преимуществом: чем больше ваше предполагаемое преимущество над рыночной ценой, тем большую долю банкролла вы выделяете, а если преимущества нет вовсе, формула указывает ничего не ставить. Она также правильно учитывает сложный процент — вы ставите процент от банкролла, который растет или уменьшается с каждым результатом, а не фиксированную сумму, которая игнорирует ваше текущее положение.
Формула в терминах десятичных коэффициентов выглядит так: f* = (bp − q) / b, где b — это десятичный коэффициент минус 1 (прибыль на каждый поставленный доллар в случае выигрыша), p — ваша оценка истинной вероятности выигрыша, а q — 1 − p. Результат, f*, — это доля вашего банкролла для ставки. Если f* получается отрицательным, значит, рыночная цена хуже вашей оценки вероятности, и Келли советует не делать ставку.
Подвох в том, что всё зависит от p, а никто не знает истинной вероятности того, что «Арсенал» обыграет «Баварию» — у вас есть только оценка. Переоцените свое преимущество хотя бы немного, и «полный Келли» завысит размер ставок, что приведет к резким колебаниям банкролла. Именно поэтому почти все серьезные практики ставят дробную часть от «полного Келли», а не чистое число.
Пример
Предположим, ваш банкролл составляет $8,400. «Арсенал» играет в гостях у «Баварии» в Лиге чемпионов, коэффициент на их победу — 2.50. Ваша собственная модель, основанная на текущей форме, травмах и данных об ожидаемых голах (xG), оценивает истинный шанс победы «Арсенала» в 46%, против 40%, подразумеваемых коэффициентом 2.50 (1 ÷ 2.50). Вы считаете, что у вас есть реальное преимущество в 6 пунктов.
Переведите коэффициент в b: 2.50 − 1 = 1.50.
Подставьте в формулу: f* = (bp − q) / b = (1.50 × 0.46 − 0.54) / 1.50 = (0.69 − 0.54) / 1.50 = 0.15 / 1.50 = 0.10
«Полный Келли» советует поставить 10% от банкролла: 0.10 × $8,400 = $840.
Если «Арсенал» победит, вы получите $840 × 2.50 = $2,100, прибыль составит $1,260, а ваш банкролл станет $9,660. Если они проиграют, у вас останется $7,560. Поскольку ваша оценка преимущества может быть ошибочной на несколько пунктов в любую сторону, большинство игроков используют «дробный Келли» — 5% от банкролла, или $420 — принимая более медленный рост в обмен на гораздо меньшие просадки, если модель окажется слишком оптимистичной.
Основные положения
- Доля, а не уверенность: f* означает именно то, что написано, только если ваша оценка вероятности точна. Относитесь к результату как к потолку, а не как к цели — использование половины или четверти от значения Келли является стандартной практикой именно потому, что реальные преимущества — это оценки, а не факты.
- Нет преимущества — нет ставки: Если ваша рассчитанная истинная вероятность ниже подразумеваемой рынком, f* будет равен нулю или отрицательному числу. Настоящая дисциплина Келли заключается в том, чтобы удерживать вас от ставок на рынках, где у вас нет доказанного преимущества, а это большинство рынков.
- Пересчитывайте банкролл каждый раз, а не ставку: Ставки по Келли динамичны — 10% или 5% должны применяться к вашему текущему банкроллу перед каждой ставкой, а не к той сумме, с которой вы начали месяц. Именно это заставляет капитал расти по сложному проценту, а также предотвращает ситуацию, когда серия поражений заставляет вас ставить фиксированную сумму, загоняя в яму.
- Малые ошибки в вероятности вызывают большие ошибки в размере ставки: поскольку p находится внутри формулы, которая сравнивается с 1 − p, изменение вашей оценки с 46% до 50% при том же коэффициенте 2.50 примерно удваивает рекомендуемую ставку. Будьте честны в отношении того, насколько точна ваша модель, прежде чем доверять «сырому» результату.
- Это создано для повторяющихся преимуществ, а не для разовых пари: Келли предполагает, что вы можете совершать такие ставки с положительным математическим ожиданием многократно. Применение этого метода к одному аутсайдеру в Grand National, который вам приглянулся раз в год, статистически бессмысленно — это инструмент роста банкролла для игроков с реальным, повторяющимся преимуществом в оценке, например, для тех, кто обыгрывает закрывающую линию на футбольных или теннисных рынках.
- Коррелированные ставки ломают модель: Келли предполагает, что исход каждой ставки независим. Объединение нескольких ставок на коррелированные события в течение одного дня, например, ставки на рынки фаворита титула в течение гоночного уик-энда Формулы-1, означает, что ваш реальный риск гораздо выше, чем предполагает формула, если вы рассчитываете размер каждого «плеча» отдельно.